안경잡이개발자

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  머신러닝/딥러닝을 공부할 때 컨벡스 최적화(convex optimization)를 공부하면 굉장히 많은 도움이 됩니다. 컨벡스 최적화 교재는 여러 가지가 있지만, 그중에서도 스탠퍼드 대학교(Stanford University)에서 교수로 재직 중인 Stephen Boyd 교수가 쓴 convex optimization 교재가 유명합니다. 그래서 필자 또한 컨벡스 최적화를 공부하고 싶다면 이 교재를 추천합니다.

 

  ▶ Stephen Boyd 컨벡스 최적화 교재: https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf

 

  교재를 확인해 보면 목차가 나와 있는데요. 각 장(Chapter)은 다음과 같이 구성됩니다.

 

  1. 소개(Introduction): 컨벡스 최적화에서 배우게 되는 내용 전반에 대한 소개

  2. 컨벡스 집합(Convex sets)

  3. 컨벡스 함수(Convex functions)

  4. 컨벡스 최적화 문제(Convex optimization problems)

  5. 쌍대성(Duality)

  6. 근사와 피팅(Approximation and fitting)

  7. 통계적 추정(Statistical estimation)

  8. 기하학 문제(Geometric problems)

  9. 무제약 최소화(Unconstrained minimization)

  10. 상등 제약 최소화(Equality constrained minimization)

  11. 내점 방법론(Interior-point methods)

 

 

※ 연습 문제(Exercise)와 정답(Solution) ※

 

  ▶ 연습 문제 및 정답: https://see.stanford.edu/Course/EE364A

 

  스탠퍼드(Stanford) 대학교에서 강의할 때 출제되었던 숙제(homework) 문제들과 솔루션을 확인할 수 있습니다. 따라서 실제로 스탠퍼드에서의 강의 진도에 맞게 공부를 하면서 적절한 문제를 풀어 보는 것을 추천합니다.

 

 

※ 학습 순서 ※

 

  필자가 컨벡스 최적화(convex optimization) 스터디를 할 때는 다음과 같은 순서로 진행했습니다.

 

  ▶ 1주 차: Chapter 2 Convex sets

  ▶ 2주 차: 문제풀이(Homework 1) - 2.1, 2.2, 2.5, 2.7, 2.8, 2.11, 2.12, and 2.15

  ▶ 3주 차: Chapter 3 Convex functions 3.1, 3.2

  ▶ 4주 차: Chapter 3 Convex functions 3.3, 3.4 / 문제 풀이 - 3.2, 3.5, 3.6, 3.15, 3.16(b-e), 3.18(b), 3.24(f-h)

  ▶ 5주 차: Chapter 4 Convex optimization problems 4.1, 4.2, 4.3 / 문제 풀이 - 4.1, 4.4, 4.8(a-e), 4.17

 

※ 참고 자료 ※

 

  한국어로 된 다양한 참고 자료가 존재합니다. convex optimization 원서에 비해서는 내용이 매우 간소하게 적혀 있긴 하지만, 전반적인 흐름을 이해하는 목적으로는 참고할 수 있습니다.

 

  ▶ 모두를 위한 컨벡스 최적화(위키독스): https://wikidocs.net/book/1896

  ▶ 모두를 위한 컨벡스 최적화(최신 버전): https://convex-optimization-for-all.github.io/

 

 

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  지오지브라(GeoGebra)수학 교육용 소프트웨어입니다. 다양한 도형(평면, 다면체 등)과 함수(1차, 2차, 3차, 삼각함수 등)를 그려서 시각화할 수 있습니다. 별다른 설치 없이 웹 사이트에서 바로 사용할 수 있기 때문에 매우 편리합니다. 웹 사이트에는 다음의 링크를 통해 접속할 수 있습니다.

 

  ▶ 지오지브라(GeoGebra) 공식 웹 사이트: https://www.geogebra.org/?lang=ko 

 

지오지브라 - 1억 명 이상의 학생과 교사가 사용하는 세계에서 가장 인기있는 무료 수학 학습 도

클래스 활동, 그래프, 기하, 공동 화이트보드 등을 위한 무료 디지털 학습 도구

www.geogebra.org

 

  웹 사이트에 접속하면 [계산기], [3차원 계산기] 등을 사용할 수 있습니다. 참고로 전체적인 사용 방법은 [튜토리얼] 란에서 확인할 수 있기 때문에, 시간이 날 때 한 번 튜토리얼을 확인해 보면 좋습니다.

 

 

  기본적으로 선형대수학을 공부할 때 가장 많이 사용하게 되는 앱은 [3차원 계산기]입니다.

 

  ▶ 지오지브라(GeoGebra) 3차원 계산기 웹 사이트: https://www.geogebra.org/3d?lang=ko 

 

3차원 계산기 - GeoGebra

 

www.geogebra.org

 

  ※ 그래프에 함수 그리기 ※

 

  기본적으로 3차원 계산기에서의 세 가지 축은 차례대로 x(빨간색 축), y(초록색 축), z(파란색 축)입니다. 따라서 이를 이용해 다양한 함수를 그래프 형태로 표현할 수 있습니다. 예를 들어 z = x + y라는 함수를 입력하면 다음과 같이 해당 함수가 화면에 그려집니다.

 

 

 

  이때 동일한 그래프(도표) 안에 여러 개의 함수를 넣을 수 있습니다. 예를 들어 z = x^2라는 함수를 추가해 넣으면 다음과 같이 다른 색상으로 그래프가 그려지는 것을 알 수 있습니다.

 

 

  ※ 그래프에 도형 그리기 ※

 

  도형을 그릴 때에는 [도형] 탭으로 이동한 뒤에 다양한 도형을 선택하여 그릴 수 있습니다. 가장 기본적으로 사용되는 도형은 [점]입니다. 실제로 점은 다각형이나 평면 등을 그릴 때 효과적으로 사용할 수 있습니다.

 

 

  참고로 생성된 점을 더블 클릭하여 구체적인 좌표를 설정할 수 있습니다.

 

 

  다음과 같이 자신이 설정한 위치에 점이 정상적으로 표현됩니다.

 

 

  또한 [세 점을 지나는 평면]도 자주 사용됩니다. 이는 세 가지 점을 이용해 평면(plane)을 만들 수 있도록 합니다. 실제로는 초평면(hyperplane) 형태로 도형이 그려집니다.

 

 

  평면은 다음과 같이 세 가지 점을 입력으로 넣어 생성됩니다.

 

 

  이때 구체적인 점들의 좌표를 입력해서 만들 수도 있습니다.

 

 

  아무튼 다음과 같이 평면이 만들어집니다.

 

 

  또한 교선(intersection line)을 그릴 수도 있는데요. 두 개의 함수를 선택하여 다음과 같이 [교선]을 찾을 수 있습니다.

 

 

  또한 점과 평면을 선택해 [수직선]을 그리는 기능도 있습니다.

 

 

  또한 [다각형]을 그릴 수 있습니다.

 

 

  다각형을 만든 뒤에는 이것을 이용해 기둥이나 뿔을 만들 수 있습니다. [뿔로 끌어내기]를 이용한 예시는 다음과 같습니다.

 

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